平成29年度 春期 基本情報技術者試験 午前 問1
テクノロジ／基礎理論集合 A，B，C を使った等式のうち，集合 A，B，C の内容によらず常に成立する等式はどれか。ここで，∪は和集合，∩は積集合を示す。
出典：平成29年度 春期 基本情報技術者試験 午前 問1
- ア(A∪B) ∩ (A∩C) ＝ B ∩ (A∪C)
- イ(A∪B) ∩ C ＝ (A∪C) ∩ (B∪C)
- ウ(A∩C) ∪ (B∩A) ＝ (A∩B) ∪ (B∩C)
- エ(A∩C) ∪ (B∩C) ＝ (A∪B) ∩ C
正解：エ
解説
集合演算では，∪（和集合）と∩（積集合）は分配法則が成り立ちます。エの左辺 (A∩C)∪(B∩C) は，分配法則により (A∪B)∩C と変形できるので，常に成立する等式です。ほかの選択肢は，具体的な集合の例を一つ考えるだけで反例が見つかります。
選択肢ごとの解説
- ア誤り。例えば A，B，C を適当な集合にとると，左辺と右辺の値が一致しない反例が存在します。
- イ誤り。C の中に A にも B にも属さない要素がある場合など，左辺と右辺が一致しない反例があります。
- ウ誤り。左辺の (B∩A) は (A∩B) と同じですが，全体として右辺と常には一致しません。
- エ正しい。分配法則 (X∩Z)∪(Y∩Z)＝(X∪Y)∩Z より，(A∩C)∪(B∩C)＝(A∪B)∩C が常に成立します。