平成21年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問2
テクノロジ／基礎理論論理和（∨），論理積（∧），排他的論理和（⊕）の結合法則の成立に関する記述として，適切な組合せはどれか。 (A∨B)∨C＝A∨(B∨C) (A∧B)∧C＝A∧(B∧C) (A⊕B)⊕C＝A⊕(B⊕C) （各選択肢は，上の三つの等式が左から順に成立するかどうかを示す） （注：本サイトでは原問題の表を文字表記に変換しています）
出典：平成21年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問2
- ア(A∨B)∨C＝A∨(B∨C)は必ずしも成立しない，(A∧B)∧C＝A∧(B∧C)は成立する，(A⊕B)⊕C＝A⊕(B⊕C)は成立する。
- イ(A∨B)∨C＝A∨(B∨C)は成立する，(A∧B)∧C＝A∧(B∧C)は必ずしも成立しない，(A⊕B)⊕C＝A⊕(B⊕C)は成立する。
- ウ(A∨B)∨C＝A∨(B∨C)は成立する，(A∧B)∧C＝A∧(B∧C)は成立する，(A⊕B)⊕C＝A⊕(B⊕C)は必ずしも成立しない。
- エ(A∨B)∨C＝A∨(B∨C)は成立する，(A∧B)∧C＝A∧(B∧C)は成立する，(A⊕B)⊕C＝A⊕(B⊕C)は成立する。
正解：エ
解説
論理和と論理積はいずれも結合法則が常に成立する二項演算です。排他的論理和も結合法則が成立するため，(A⊕B)⊕C＝A⊕(B⊕C)も常に成り立ちます。したがって三つの等式はすべて成立します。
選択肢ごとの解説
- ア誤り。(A∨B)∨C＝A∨(B∨C)は論理和の結合法則そのものであり，常に成立します。
- イ誤り。(A∧B)∧C＝A∧(B∧C)は論理積の結合法則そのものであり，常に成立します。
- ウ誤り。(A⊕B)⊕C＝A⊕(B⊕C)も排他的論理和の結合法則として常に成立します。
- エ正しい。論理和，論理積，排他的論理和はいずれも結合法則を満たす演算であり，三つの等式はすべて常に成立します。