平成27年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問1
テクノロジ／基礎理論ATM（現金自動預払機）が1台ずつ設置してある二つの支店を統合し，統合後の支店にはATMを1台設置する。統合後のATMの平均待ち時間を求める式はどれか。ここで，待ち時間はM/M/1の待ち行列モデルに従い，平均待ち時間にはサービス時間を含まず，ATMを1台に統合しても十分に処理できるものとする。 〔条件〕 (1) 統合後の平均サービス時間：Ts (2) 統合前のATMの利用率：両支店ともρ (3) 統合後の利用者数：統合前の両支店の利用者数の合計
出典：平成27年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問1
- アρ/(1−ρ)×Ts
- イρ/(1−2ρ)×Ts
- ウ2ρ/(1−ρ)×Ts
- エ2ρ/(1−2ρ)×Ts
正解：エ
解説
M/M/1の待ち行列モデルでは，待ち時間（サービス時間を含まない）はρ/(1−ρ)×Tsで表されます。ここで統合後の利用率をρ'とすると，利用者数が両支店合計（2倍）になる一方，1件当たりのサービス時間Tsは変わらないため，ρ'=2ρとなります。これを公式に代入すると，待ち時間は2ρ/(1−2ρ)×Tsとなります。
選択肢ごとの解説
- ア誤り。ρ/(1−ρ)×Tsは統合前の1支店（利用率ρ）の待ち時間の式であり，統合後の待ち時間ではありません。
- イ誤り。分母だけを2ρに置き換えていますが，分子のρも2倍にする必要があります。
- ウ誤り。分子だけを2ρに置き換えていますが，分母の1−ρも1−2ρに置き換える必要があります。
- エ正しい。統合後の利用率は2ρとなるため，待ち時間は2ρ/(1−2ρ)×Tsです。