令和3年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問2
テクノロジ／基礎理論ATM（現金自動預払機）が 1 台ずつ設置してある二つの支店を統合し，統合後の支店には ATM を 1 台設置する。統合後の ATM の平均待ち時間を求める式はどれか。ここで，待ち時間は M/M/1 の待ち行列モデルに従い，平均待ち時間にはサービス時間を含まず，ATM を 1 台に統合しても十分に処理できるものとする。 〔条件〕 (1) 統合後の平均サービス時間： Ts (2) 統合前の ATM の利用率： 両支店とも ρ (3) 統合後の利用者数： 統合前の両支店の利用者数の合計
出典：令和3年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問2
- アρ/(1−ρ)×Ts
- イρ/(1−2ρ)×Ts
- ウ2ρ/(1−ρ)×Ts
- エ2ρ/(1−2ρ)×Ts
正解：エ
解説
M/M/1 モデルの平均待ち時間は「利用率/(1−利用率)×平均サービス時間」で求められます。統合後は利用者数（到着率）が2倍になる一方，ATM は1台でサービス時間は Ts のままなので，統合後の利用率は 2ρ となります。したがって平均待ち時間は 2ρ/(1−2ρ)×Ts です。
選択肢ごとの解説
- ア誤り。ρ/(1−ρ)×Ts は統合前の1支店の ATM の平均待ち時間であり，統合による利用者数の倍増が反映されていません。
- イ誤り。分母の利用率は 2ρ に更新されていますが，分子が統合前の ρ のままです。待ち行列の公式では分子・分母とも統合後の利用率 2ρ を使う必要があります。
- ウ誤り。分子は 2ρ ですが分母が 1−ρ のままで，統合後の利用率が分母に反映されていません。
- エ正しい。統合後の利用率は 2ρ なので，平均待ち時間は 2ρ/(1−2ρ)×Ts となります。