平成25年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問2
テクノロジ／基礎理論((A∪B)∩(A∪B)) と等価な集合はどれか。ここで，∪は和集合，∩は積集合，XはXの補集合を表す。
出典：平成25年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問2
- ア(A∪B)∩(A∪B)
- イ(A∪B)∩(A∪B)
- ウ(A∩B)∪(A∩B)
- エ(A∩B)∩(A∪B)
正解：ア
解説
全体の式は((A∪B)∩(A∪B)) で，(A∪B)と(A∪B)の積集合全体を否定しています。ド・モルガンの法則より，[(A∪B)∩(A∪B)]＝(A∪B)∪(A∪B)＝(A∩B)∪(A∩B)となり，これはAとBの帰属が一致する要素の集合です。これを展開すると(A∪B)∩(A∪B)と同じ集合になります。
選択肢ごとの解説
- ア正しい。ド・モルガンの法則で展開すると(A∩B)∪(A∩B)となり，これは(A∪B)∩(A∪B)を分配して整理した式と一致します。
- イ誤り。(A∪B)∩(A∪B)はAとBの帰属が一致しない要素の集合（排他的論理和，XOR）を表し，求める式とは逆になります。
- ウ誤り。(A∩B)∪(A∩B)も排他的論理和（XOR）を表す式であり，イと同じ集合になるため，求める式とは一致しません。
- エ誤り。(A∩B)∩(A∪B)は，A∩B（AにもBにも属さない要素）とA∪B（AまたはBに属する要素）の共通部分であり，両者は互いに排反なので常に空集合になります。